هل للأرقام وجود حقيقي؟ الفلسفة والتاريخ والبناء الرسمي

الرئيسية » ثقافة » هل للأرقام وجود حقيقي؟ الفلسفة والتاريخ والبناء الرسمي

عندما نستخدم الأرقام لمعرفة الوقت، أو للدفع في السوبر ماركت، أو للتحقق من رصيدنا البنكي، فإننا نعتبرها أمراً مفروغاً منه، كما لو كانت حقيقية مثل مفاتيح منزلنا. ولكن إذا فكرنا في الأمر ملياً، فإن الأمور تصبح أكثر تعقيداً: بأي معنى "توجد" الأرقام فعلاً؟هل هي شيء نكتشفه، مثل الكواكب، أم شيء نخترعه، مثل الشخصيات في الرواية؟

يمزج هذا النقاش بين الفلسفة والتاريخ والرياضيات بطريقة رائعة. على مر القرون، طُرحت إجابات متنوعة: من أولئك الذين يعتقدون أن الأرقام جزء من نوع من "العالم المجرد" المستقل عنا، إلى أولئك الذين يؤكدون أنها ليست أكثر من مجرد الأدوات الرمزية التي أنشأناها للعد والقياس والاستدلال. وعلى طول الطريق، تظهر أفكار مثل بديهيات بيانو، ونظرية المجموعات، والبناء الرسمي للأعداد الطبيعية والصحيحة والنسبية وغير النسبية والحقيقية، وحتى القيود الشهيرة التي اكتشفها غودل.

ماذا يعني أن يكون الرقم "موجوداً"؟

قبل الخوض في الصيغ والمسلمات، يجدر بنا توضيح ما نعنيه تحديدًا بكلمة "وجود". فوجود طاولة ليس كوجود شرلوك هولمز أو وجود... رقم مثل 24الطاولة جسم مادي؛ هولمز شخصية خيالية ولكنها محددة جيدًا؛ أما الرقم 24، من ناحية أخرى، فلا يشغل أي مساحة، ولا يزن شيئًا، ولا يمكن تخزينه في درج.

إحدى طرق معالجة هذه المسألة، والتي تعود إلى أفلاطون، تؤكد أن الأرقام كيانات مجردة تعيش في مجال غير ماديإنها ليست مصنوعة من المادة، لكنها "حقيقية" كحقيقة العدالة أو الجمال في الفلسفة الأفلاطونية. من هذا المنظور، لا يخترع علماء الرياضيات الأرقام، بل يكتشفونها: فالرقم 24 كان "موجودًا" رغم أن أحدًا لم يفكر فيه.

ويجادل فلاسفة ورياضيون آخرون بشيء مختلف: فالأرقام تفضل الرموز والتركيبات المفاهيمية التي نقوم بتطويرها لنمذجة العالم. لن توجد هذه النماذج خارج نظرياتنا واتفاقياتنا، ولكن بمجرد وضع هذه القواعد، ستكون النتائج الرياضية صارمة كما نشاء. في هذا النهج، يمثل العدد 24 نتيجة نظام من الرموز والعمليات التي اتفقنا عليها، وليس جزءًا من عالم رياضي مستقل.

وهناك أيضاً مقترحات وسيطة مثيرة للاهتمام: إذ يرى بعض المؤلفين أن العدد هو نوع من كائن مجرد ذو خاصية غريبة تتمثل في أنه "إذا كان من الممكن أن يوجد، فسيوجد".بمعنى آخر، يكفي أن يكون المفهوم ممكناً ومحدداً بدقة ليتمتع بوجود منطقي أو رياضي معين. وهذا الأسلوب في التعبير يسمح لنا بإدراج ليس فقط الأرقام، بل أيضاً المجموعات، والمساحات، والدوال، والأشكال الهندسية، والعديد من الكيانات الأخرى التي نستخدمها يومياً في الرياضيات.

من أي من هذه الآراء، تظل المشكلة الأساسية متشابهة: كيف يختلف وجود رقم عن وجود شخصية خيالية؟الجميع يعرف ما هو الرقم 5، والجميع يعرف من هو شرلوك هولمز، لكننا لا ننسب إليهما نفس القدر من الواقعية. هذا النقاش، الذي لا يُحسم عادةً، يثير أسئلة أكثر مما يجيب.

الأرقام والرموز والمعنى: ما هو الرقم "2" حقاً؟

إذا تجردنا مما نعتبره من المسلمات ونظرنا إلى الأرقام بموضوعية، فإن أول ما نراه هو الرموز المكتوبة أو الأصوات عند نطقهاإن الرقم "2" الذي نكتبه على الورق، أو الرقم "اثنان" الذي نقوله بصوت عالٍ، أو الرقم الروماني "II" ليس هو الرقم نفسه، بل هو تمثيلات.

الرمز، في حد ذاته، مجرد خط أو صوت بلا مضمون. ما يمنحه المعنى هو الاتفاق الجماعي. قررنا أن هذه الضربة تمثل كمية، أو ترتيبًا، أو مقياسًاتمامًا كما هو الحال مع حروف الأبجدية، التي لا تعني شيئًا بمفردها، ولكنها تشكل مجتمعة كلمات نربطها بالأفكار أو الأشياء أو الأفعال.

يكشف هذا المنظور الرمزي عن شيء مهم: لا يوجد شيء "سحري" في الشكل الملموس للأرقاميمكننا استخدام رموز مختلفة تمامًا، وطالما اتفقنا على القواعد والمعاني نفسها، ستظل الرياضيات فعّالة. في الواقع، على مرّ التاريخ، وُجدت أنظمة عددية عديدة، برموز وقواعد مختلفة تمامًا، ومع ذلك فقد استُخدمت جميعها في العدّ والقياس والحساب.

لكن الاستخدام اليومي للأرقام يتجاوز بكثير مجرد كتابتها: تتجلى قوة الأرقام عندما نتعامل معها.الجمع والطرح والضرب والقسمة ورفع الأعداد إلى قوى... كل هذه العمليات تسمح لنا بنمذجة الظواهر الحقيقية: من تقسيم الكعكة إلى تصميم نظام ملاحة GPS أو حساب جرعة اللقاح.

ولأن الرياضيات تُشكل أساس جميع التقنيات الحديثة تقريبًا، فقد اضطر علماء الرياضيات، وخاصة منذ القرن التاسع عشر فصاعدًا، إلى لتحديد ما فهموه من كلمة "رقم" بأقصى قدر من الدقةلم يكن كافياً أن نقول ببساطة "هذا ما نستخدمه للعد"؛ كان من الضروري وجود تعريف رسمي لتجنب التناقضات والسماح ببناء النظرية بأكملها بيقين.

هل هناك أعداد لا نهائية، أم أن هذا الأمر غير واضح أيضاً؟

من أكثر القضايا إثارة للحيرة عند مناقشة وجود الأرقام هي موضوع اللانهايةنحن معتادون على القول بأن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الطبيعية: 0، 1، 2، 3... وهكذا. ولكن إذا قبلنا بهذا، فإن بعض الأسئلة المثيرة للاهتمام ستثار.

على سبيل المثال: إذا فكرنا في "مجموعة جميع الأرقام" وأردنا اختيار رقم "عشوائيًا"، فما احتمال الحصول على الرقم 5؟ بشكل بديهي، قد نقول شيئًا مثل 1 مقسومًا على ما لا نهاية، وهو ما يبدو وكأنه صفروإذا كان الاحتمال صفرًا، فقد يميل المرء إلى القول بأن 5 "لا يظهر" في تلك المجموعة، وهو أمر يبدو سخيفًا لأن 5 موجود بوضوح.

يوضح هذا النوع من التفكير الصدام بين البديهيات اليومية حول اللانهاية و الطريقة الدقيقة التي يتم بها التعامل مع الاحتمالات والمجموعات اللانهائية في الرياضياتفي نظرية القياس والاحتمالات، لا يعني انعدام احتمال حدوث شيء ما أنه مستحيل؛ بل يشير ببساطة إلى أن "وزنه" ضئيل للغاية ضمن نطاق لا نهائي. بعبارة أخرى، فكرة أن "انعدام الاحتمال = عدم الوجود" غير صحيحة في الرياضيات.

ومن هذا ينشأ اقتراح آخر أكثر فلسفية: ربما لا تُعطى الأرقام على أنها لانهائية كاملة، بل نقوم بإنشائها خطوة بخطوة، ونتقدم بلا حدود ولكن دون الوصول إلى اللانهاية النهائية.بمعنى آخر، ستكون الأرقام لا نهائية من الناحية المحتملة (يمكننا دائمًا الاستمرار في إضافة 1)، ولكن لن يكون هناك "مجموع" لها جميعًا كشيء مغلق.

يرتبط هذا الموقف بمفهوم الأعداد الطبيعية ككائنات تُبنى بالتتابع (صفر، ثم العدد الذي يليه، ثم العدد الذي يليه، وهكذا)، مما يقودنا إلى المفهوم الشهير بديهيات بيانو نظرية المجموعات كأساس رسمي للرياضيات الحديثة.

من العدم إلى الصفر: المجموعات، والفراغ، والأعداد الطبيعية

لبناء الأعداد الطبيعية بدقة، اعتمد العديد من علماء الرياضيات في القرن التاسع عشر على لغة مشتركة: نظرية المجموعاتالفكرة بسيطة في ظاهرها: نحن نعمل مع "المجموعات" (المجموعات) و"العناصر" (ما ينتمي إلى تلك المجموعات) ونقدم بعض البديهيات الأساسية حول كيفية تصرفها.

إحدى البديهيات الأساسية هي بديهية التمديد: تتساوى مجموعتان إذا كانتا تحتويان على نفس العناصر تمامًا.أما الخاصية الأخرى، وهي المواصفات، فتسمح لنا بتكوين مجموعات فرعية من شرط ما: بالنظر إلى مجموعة A وخاصية T، توجد مجموعة جميع عناصر A التي تحقق T.

باستخدام هذه الأدوات، يمكننا تحديد شيء أساسي: مجموعة فارغةوهي المجموعة التي لا تحتوي على أي عناصر. يمكن تمثيلها كمجموعة جميع قيم x في A بحيث يكون x ≠ x (وهو شرط مستحيل)، لذا لا يوجد أي عنصر ينتمي إلى هذه المجموعة. تُسمى هذه المجموعة عادةً صفرًا، وتُعدّ حجر الزاوية في البناء الرسمي للأعداد الطبيعية.

ومن ثم، يمكننا "تسمية" الأرقام الأولى كمجموعات معينة: نسمي المجموعة الفارغة 0، والمجموعة التي تحتوي على 0 فقط نسميها 1، والمجموعة التي تحتوي على كل من 0 و1 نسميها 2، وهكذا. يتم بناء كل رقم كمجموعة تجمع إلى جميع الأرقام المذكورة أعلاهتسمح هذه الطريقة في ترميز الأعداد الطبيعية (على غرار اقتراح فريجه ولاحقًا اقتراح فون نيومان) بربط ترتيب "أصغر من" بتضمين المجموعات.

للمضي قدمًا، نحتاج إلى بديهية الاتحاد: إذا أُعطيت مجموعة من المجموعات، فإنه توجد مجموعة تحتوي على جميع العناصر التي تنتمي إلى واحدة منها على الأقل. ونُعرّف أيضًا خليفة المجموعة أ لأن A+ = A ∪ {A}. أي أننا نضيف المجموعة نفسها كعنصر جديد، مما يسمح لنا بالصعود "أعلى" رقمًا برقم.

وهذا يُقدّم مفهوم مجموعة الخلفاءتُسمى المجموعة S مجموعة لاحقة إذا احتوت على 0، وكلما احتوت على عنصر A، فإنها تحتوي أيضًا على العنصر اللاحق له A+. وتنص إحدى البديهيات الأساسية على وجود مجموعة لاحقة واحدة على الأقل. وإذا أخذنا تقاطع جميع المجموعات اللاحقة الممكنة، نحصل على أصغر مجموعة تحتوي عليها جميعًا: وهذا هو تحديدًا موضع "تداخل" مجموعة المجموعات اللاحقة. الأعداد الطبيعية، ℕ.

بديهيات بيانو: إن ضمان أن 1 + 1 = 2 ليس بالأمر التافه.

بمجرد أن نحدد ℕ على أنها المجموعة الدنيا التي تحتوي على الصفر وتكون مستقرة بالتتابع، يمكننا دراسة خصائصها. وقد صاغ جوزيبي بيانو قائمة موجزة للغاية من البديهيات في نهاية القرن التاسع عشر والتي تلخص جوهر سلوك الأعداد الطبيعية.

في نسخة نموذجية، تبدأ من 1 بدلاً من 0، تنص بديهيات بيانو، بشكل عام، على ما يلي: أولاً، 1 هو عدد طبيعيثانيًا، لكل عدد طبيعي عددٌ لاحق، وهو أيضًا عدد طبيعي. ثالثًا، لا يوجد عدد طبيعي له العدد 1 كعدد لاحق (أو بصيغة أخرى، 0 ليس عددًا لاحقًا لأي عدد طبيعي). رابعًا، إذا احتوت مجموعة الأعداد الطبيعية على العدد 1 وكانت مغلقة بالمتتالية، فإنها تحتوي على جميع الأعداد الطبيعية: وهذا هو مبدأ الاستقراءخامساً، إذا كان للعددين نفس العدد التالي، فإن العددين متساويان.

على الرغم من أن هذه البديهيات تبدو رسمية وجافة نوعًا ما، إلا أنها تتضمن أفكارًا استخدمناها لا شعوريًا منذ الطفولة. على سبيل المثال، يسمح لنا الاستقراء بإثبات خصائص من نوع "جميع الأعداد الطبيعية تحقق X" من خلال إثبات أن X صالحة للأول وإذا صحّ ذلك بالنسبة لرقم واحد، فإنه يصحّ أيضاً بالنسبة للرقم الذي يليه. إنه أشبه بتأثير الدومينو المنطقي.

انطلاقاً من هذه البديهيات، تُستنتج الخصائص الأساسية للأعداد الطبيعية، مثل ذلك. لا يوجد عدد يكون العدد التالي له هو 0أو أن عملية "اللاحق" أحادية (إذا كان لعددين لاحق واحد، فهما نفس العدد). كما أنها تسمح لنا بتوصيف ℕ على أنها المجموعة الوحيدة التي تحقق شروطًا معينة مشتركة للتتابع والاستقراء.

الأمر الأكثر إثارة للاهتمام هو أنه، انطلاقاً من هذا الإطار المنطقي ومفهوم الخليفة، يمكن للمرء أن يبني بدقة العمليات الحسابية المعتادة: الجمع والضرب والقوى، وإثبات خصائصها الكلاسيكية (التبديل، والتجميع، ووجود العناصر المحايدة، وما إلى ذلك) دون اللجوء إلى "بديهيًا هو كذلك".

كيفية إنشاء المجموع والضرب والقوى على ℕ

بمجرد قبولنا لمسلمات بيانو وتعريف المجموعة ℕ تعريفًا دقيقًا، يمكننا أن نسأل أنفسنا: كيف نُعرّف عمليات مثل الجمع تحديدًا، دون اعتبارها أمرًا مفروغًا منه؟ ولتحقيق ذلك، نستخدم أداة قوية جدًا: نظرية التكرار، مما يضمن وجود وتفرد بعض الدوال المحددة خطوة بخطوة على الأعداد الطبيعية.

الفكرة هي كالتالي: إذا كان لدينا مجموعة X، وعنصر ابتدائي a في X، ودالة f: X → X، فإن النظرية تضمن وجود دالة وحيدة u: ℕ → X بحيث u(0) = ayu(n+) = f(u(n)) لجميع الأعداد الطبيعية n. أي أنه يمكننا إنشاء u عن طريق تطبيق f مرارًا وتكرارًا بدءًا من a، ولن تكون هناك طريقتان مختلفتان للقيام بذلك تحترمان هذا التعريف.

بتطبيق هذه الفكرة على الأعداد الطبيعية، يمكننا تعريف مجموع عدد ثابت m مع أي عدد n. نأخذ X = ℕ، و a = m، ودالة s: ℕ → ℕ تربط كل عدد n بلاحقه n+. عندئذٍ، تعطينا نظرية التكرار دالة S_m: ℕ → ℕ، حيث S_m(0) = m و S_m(n+) = s(S_m(n)). نفسر هذه الدالة على النحو التالي: المجموع م + نأي أننا نعرّف S_m(n) = m + n.

مع هذا التعريف الرسمي، يصبح شيء شائع مثل 1 + 1 سلسلة صغيرة من التطبيقات: 1 + 1 = S_1(1) = S_1(0+) = s(S_1(0)) = s(1) = 2ليس الأمر أن علماء الرياضيات لا يعرفون أن 1 + 1 يساوي 2، بل إنهم يريدون تبرير سبب كون هذه المساواة حتمية ضمن النظام البديهي.

انطلاقًا من هذا التعريف، يمكن إثبات خصائص مثل أن الصفر يعمل كعنصر محايد لعملية الجمع (m + 0 = my، 0 + m = m لجميع قيم m)، وأن عملية الجمع هي تبديلي (أ + ب = ب + أ) وهذا أيضاً ترابطي ((أ + ب) + ج = أ + (ب + ج)). تعتمد جميع هذه البراهين على مبدأ الاستقراء وسلوك التابع.

يُعرَّف الناتج بطريقة مماثلة. نُثبِّت عددًا m، ونأخذ دالة P_m: ℕ → ℕ بحيث P_m(0) = 0 و P_m(n+) = S_m(P_m(n)). نُفسِّر P_m(n) على النحو التالي: م × نوهكذا، على سبيل المثال، يتم تطوير 1 × 2 على النحو التالي: P_1(2) = P_1(1+) = S_1(P_1(1)) = S_1(1) = 2. ثم، باستخدام الاستقراء مرة أخرى، يتم إثبات خصائصه: التبديلية، والتجميعية، وأن 1 هو العنصر المحايد للضرب.

تُبنى القوى باتخاذ خطوة إضافية: نُعرّف E_m: ℕ → ℕ حيث E_m(0) = 1 و E_m(n+) = P_m(E_m(n))، ونكتب E_m(n) = m^n. من هذا التعريف، تُستنتج متطابقات مثل م^(ن + ك) = م^ن × م^ك، مرة أخرى بمساعدة مبدأ الاستقراء والخصائص التي تم إثباتها بالفعل للمنتج.

توضح هذه العملية برمتها، على الرغم من كونها رسمية وتقنية إلى حد ما، أن صرح الحساب الابتدائي ليس "معلقًا في الهواء"، بل مدعومًا بـ بعض البديهيات الواضحة جداً وعدد قليل من الحجج المنطقيةمن هذا المنظور، فإن "وجود" الأعداد الطبيعية يعني وجود نموذج (على سبيل المثال، مجموعات مبنية من المجموعة الفارغة) يفي بتلك البديهيات.

من الأعداد الطبيعية إلى الأعداد الصحيحة، والأعداد النسبية وغير النسبية

بمجرد أن تترسخ فكرة الأعداد الطبيعية، لا تنتهي القصة عند هذا الحد. فالمشاكل اليومية والعلمية تجبرنا على توسيع هذا الكون العدديعلى سبيل المثال، فيما يتعلق بالأعداد الطبيعية، فنحن نعرف فقط كيفية العد والجمع، ولكننا لا نعرف كيفية الطرح بشكل عام أو القسمة.

الخطوة التالية عادةً هي تقديم المعوية númerosوالتي تشمل الأعداد الطبيعية ونظائرها السالبة: ...، -2، -1، 0، 1، 2، ... تاريخيًا، كانت الكسور تُعرَّف قبل الأعداد السالبة، ولكن من وجهة نظر رسمية، من الأنسب البدء بالأعداد الصحيحة. يُمكن تعريف العدد الصحيح على أنه فئة تكافؤ لأزواج الأعداد الطبيعية (أ، ب)، حيث نعتبر زوجين (أ، ب) و(ج، د) متكافئين إذا كان أ + د = ب + ج. وبشكل بديهي، يتوافق هذا مع التفكير في "طرح" من − ب، على الرغم من أن عملية الطرح هذه غير موجودة رسميًا داخل ℕ.

ثم أرقام نسبيةتُقابل هذه الكسور الكسور التي نعرفها. تُستخدم لقياس الكميات التي لا تُمثل عددًا صحيحًا من الوحدات، مثل نصف كعكة، أو ثلث لتر، أو ثلاثة أرباع ساعة. يُكتب العدد النسبي عادةً على الصورة a/b، حيث a و b عددان صحيحان و b ≠ 0. رسميًا، يُعرَّف كل عدد نسبي على أنه فئة تكافؤ من الأزواج (a, b)، حيث b لا يساوي صفرًا، ويكون الزوجان (a, b) و (c, d) متكافئين إذا أ × د = ب × جأي إذا كانت تمثل نفس النسبة.

اعتقد الفيثاغوريون أن "كل شيء عدد" بمعنى "كل شيء نسبي"، لكن هذه النظرة انهارت عندما اكتُشف أن قطر مربع طول ضلعه 1 (الجذر التربيعي لـ 2) لا يمكن كتابته على شكل كسر من الأعداد الصحيحة. وقد ثبت لاحقًا أيضًا أن π و e عددان غير نسبيينأي أنه لا يمكن التعبير عنها كـ a/b حيث a و b عددان صحيحان.

لبناء بدقة أرقام غير منطقية الأمر أكثر حساسية بعض الشيء. إحدى الطرق الأنيقة للقيام بذلك هي عبر المكالمات. ديديكيند يقطعالفكرة هي النظر في مجموعات جزئية معينة من الأعداد النسبية التي لها حد أعلى محدد. على سبيل المثال، يمكننا اختيار مجموعة جميع الأعداد النسبية التي مربعها أقل من 2؛ و"قطعها" الطبيعي هو √2، وهو عدد غير نسبي. وبهذه الطريقة، يمكن اعتبار كل قطع مناسب عددًا حقيقيًا، وبعض هذه القطع لا يُمثل أعدادًا نسبية.

بدمج جميع الأعداد النسبية وجميع هذه القطوع التي تؤدي إلى أعداد غير نسبية، نقوم بإنشاء مجموعة الأعداد الحقيقية، ℝفي ℝ توجد جميع الأرقام التي نستخدمها لقياس المقادير المستمرة: الأطوال، والمساحات، والأوقات، والسرعات، وما إلى ذلك. لا تزال الأعداد الطبيعية والصحيحة والنسبية "مضمنة" داخل الأعداد الحقيقية، ولكل منها تفسيرها الخاص.

جولة سريعة في تاريخ أنظمة الأرقام

إن مسألة وجود الأرقام ليست مجردة فحسب، بل تنعكس أيضاً في تاريخ كيفية تعلم الثقافات المختلفة لـ عد وكتابة الكمياتيعود أقدم دليل على الترقيم إلى حوالي 7000 قبل الميلاد، حيث تم استخدام العلامات والعظام لإجراء عمليات عد بسيطة.

في مصر القديمة، خلال الأسرة الأولى، تم تطوير نظام ترقيم هيروغليفي عشري. كان لكل قوة من قوى العشرة رمزها الخاص، وكانت هذه القوى قاموا بتجميع العناصر في مجموعات من عشرة.وقد استُخدمت في مهام عملية مثل حساب الضرائب، وقياس الحقول الزراعية، أو بناء المعابد.

في بلاد ما بين النهرين، استخدم السومريون، ثم البابليون لاحقاً، نظام العد الستيني، أي الأساس 60تكمن صعوبة هذا النظام في العدد الكبير من الرموز والتركيبات الممكنة، ولكنه أثبت فعاليته الكبيرة في علم الفلك وحساب الوقت. في الواقع، ما زلنا نستخدم هذا الإرث حتى اليوم في الساعات والدقائق والثواني.

اتخذ الإغريق النظام المصري ذي الأساس العشري كمرجع، وطوروا نظامًا استخدموا فيه حروف أبجديتهم لتمثيل الأرقامإلا أن النظام الأتيكي أثبت أنه جامد إلى حد ما وقيد إلى حد ما تطور الحساب المتقدم، على الرغم من أن اليونانيين تألقوا بشكل مذهل في الهندسة والبراهين المنطقية.

أما النظام الروماني، الأكثر ألفةً لدينا، فقد خصص قيماً عددية لبعض الأحرف (I، V، X، L، C، D، M). ورغم بساطته الظاهرية مقارنةً بغيره، لم يكن الأمر متعلقًا بالموقعهذا جعل إجراء العمليات الحسابية المعقدة أمراً بالغ الصعوبة. قد يكون مناسباً لبعض التواريخ على واجهة مبنى، لكنه غير مناسب للجبر.

في الوقت نفسه، ظهر نظام عشري موضعي في الهند حوالي القرن الخامس قبل الميلاد. في هذا النظام، تعتمد قيمة كل رقم على موقعه، وتُعادل عشر وحدات من رتبة معينة وحدة واحدة من الرتبة الأعلى التالية. وقد تضمن هذا النظام بشكل صريح... الصفر كرقملقد أثبت أنه قوي وعملي بشكل لا يصدق.

تبنى العرب، من خلال احتكاكهم بثقافات مثل الهندوسية واليونانية والمصرية، هذا النظام العشري الموضعي ونشروه. على الرغم من أننا نتحدث عن "الأرقام العربية"، إلا أنها في الواقع أصلها من الهندكانت الشعوب الإسلامية هي التي نقلت هذا النظام إلى أوروبا، من خلال الأندلس وغيرها من الأماكن. وبمرور الوقت، حل هذا النظام محل الأرقام الرومانية وأصبح المعيار العالمي.

في أمريكا قبل وصول كولومبوس، طورت حضارة المايا نظامًا عدديًا متقدمًا للغاية، قائمًا على الرقم 20 والترتيب المكاني. علاوة على ذلك، فقد اعترفوا صراحةً بالصفر. ومثلوا الأعداد من خلال الجمع بين النقاط والخطوطاستخدم النقاط للوحدات والخطوط لتجميعها في مجموعات من خمسة. وكانت معالجته للتقويم وعلم الفلك دقيقة بشكل مذهل.

تؤكد هذه النظرة التاريخية الشاملة على فكرة أنه على الرغم من تغير الأشكال والقواعد، إن الحاجة إلى عد وقياس وتنظيم العالم حاجة عالمية.يبدو أن الأرقام، بأشكالها المختلفة، تظهر مراراً وتكراراً أينما وجدت حضارة ترغب في تنظيم تجربتها مع البيئة.

حدود النظام: غودل والإيمان بالرياضيات

في أواخر القرن التاسع عشر وبداية القرن العشرين، سعى العديد من علماء الرياضيات إلى تحويل الرياضيات إلى مبنى متين تماماً، خالٍ من التناقضاتكانت الفكرة هي إيجاد مجموعة محدودة من البديهيات الأساسية التي يمكن من خلالها استنتاج جميع النتائج الرياضية الأخرى باستخدام المنطق البحت.

أبدى شخصيات مثل هنري بوانكاريه شكوكًا ورأوا هذا الطموح غير قابل للتحقيق، بينما قاد آخرون... ديفيد هيلبرتكانوا واثقين من إمكانية تحقيق نظام بديهي مثالي للحساب، وبالتالي لبقية فروع الرياضيات.

ثم ظهر كورت غودل وأثبت نظريتين غيّرتا المشهد إلى الأبد. تنص الأولى، بتبسيط كبير، على أنه في أي نظام قوي بما يكفي ليشمل العمليات الحسابية الأساسية (على سبيل المثال، بديهيات بيانوستظل هناك دائمًا قضايا صحيحة لا يمكن إثباتها داخل النظام نفسه. بعبارة أخرى: لا يمكن أن يكون الحساب كاملًا ومتسقًا في آن واحد.

تُعدّ نظرية غودل الثانية أكثر إثارةً للقلق: فهي تُبيّن أنه إذا كان النظام البديهي، مثل نظام الحساب، متسقًا (لا يحتوي على تناقضات)، فإن لا يمكن إثبات هذا الاتساق من داخل النظام نفسه.إذا أثبت شخص ما أنه لا توجد تناقضات في علم الحساب باستخدام بديهياته وقواعده فقط، فإن ذلك يعني، بشكل متناقض، أن النظام غير متماسك.

وقد فُسِّرت هذه الاستنتاجات أحيانًا على أنها نوع من "المزحة الكونية": إذا كنا نعتمد بشكل كبير على الرياضيات كأداة نهائية للمعرفة، فعلينا أن نقبل أنه، بمعنى ما، يجب علينا أيضاً أن نؤمن بشيء لا يمكننا إثباته من داخل الإطار الرياضي نفسه.إن "وجود" نظام حسابي معقول، بدون تناقضات، يتطلب حداً أدنى من الإيمان.

عندما نجمع هذه الرحلة بأكملها - من الرموز وعظمة إيشانغو، مروراً بمصر وبابل والهند والمايا، وصولاً إلى نظرية المجموعات، وبديهيات بيانو، والتركيبات الرسمية لأنواع الأعداد المختلفة، ونظريات غودل - نرى أن الأعداد، في الوقت نفسه، أدوات بشرية وهياكل متينة بشكل مدهشيمكننا مناقشة ما إذا كانت هذه الأشياء "موجودة" ككيانات مجردة أو كاتفاقيات متطورة، ولكن من الواضح أنها تشكل فهمنا للكون، وبطريقة ما، تتجاوزنا: حتى لو اختفينا، فمن الصعب تخيل كون لا يكون فيه 1 + 1 يساوي 2.